La relativité générale, à la main

Ce qui se passe, étape par étape.

1. 01

   La gravité n’est pas une force, c’est une géométrie

   Pour Einstein (1915), une masse courbe l’espace-temps, et un corps en chute libre suit la ligne la plus droite possible dans cet espace-temps courbé : une géodésique. Autour d’une masse sphérique, la solution exacte est celle de Karl Schwarzschild (1916). Elle fait apparaître une longueur : le rayon de Schwarzschild r_s = 2GM/c², 2,95 km pour le Soleil, 8,9 mm pour la Terre. Tant qu’on reste loin de r_s, on retrouve Newton ; près de r_s, tout change.

2. 02

   Ce que montre la nappe, et ce qu’elle ne montre pas

   La nappe en entonnoir est le plongement de Flamm : la géométrie de l’espace seul (à temps fixé), dans le plan de l’équateur, dessinée comme une surface. Les cercles ont bien une circonférence 2πr, mais la distance entre deux cercles voisins est plus grande que la différence de leurs rayons : l’espace est étiré vers le centre. Ce n’est pas une bille qui roule sur un drap : pour un objet lent, c’est surtout la courbure du temps (les horloges plus lentes en bas) qui produit la chute. La nappe peut aussi montrer ce rythme du temps. Avec plusieurs masses, il n’existe pas de solution exacte simple : la nappe montre alors le potentiel de gravité, et les particules suivent Newton, la limite de la relativité générale en champ faible.

3. 03

   Des orbites qui ne se referment pas

   Chez Newton, une planète seule autour du Soleil décrit une ellipse fermée. En relativité générale, le point le plus proche de l’orbite (le périhélie) avance à chaque tour de 6πGM/(c²a(1 − e²)) : 0,1035″ par tour pour Mercure, 42,98″ par siècle, l’anomalie que Le Verrier avait mise en évidence en 1859 et qu’Einstein expliqua en novembre 1915. Près d’un trou noir, l’avance devient énorme, les orbites dessinent des rosettes, et il n’y a plus d’orbite circulaire stable sous 3 r_s (l’ISCO) : le potentiel effectif, qui a chez Newton une barrière centrifuge infinie, n’a plus qu’une barrière finie, que la particule peut franchir.

4. 04

   La lumière aussi suit l’espace-temps

   Un rayon qui frôle le Soleil est dévié de 4GM/(c²R) = 1,75″, deux fois plus que si la lumière était une particule soumise à la gravité de Newton. Mesurée pendant l’éclipse du 29 mai 1919 (Dyson, Eddington, Davidson), cette déviation a rendu Einstein célèbre. Plus près d’une masse compacte, les rayons s’enroulent : à 1,5 r_s, la lumière peut tourner en rond (sphère de photons) ; en dessous d’un paramètre d’impact de 2,6 r_s, elle est capturée. Vu de loin, le trou noir projette une ombre de 5,2 r_s de diamètre, cerclée d’un anneau de lumière : c’est ce qu’a photographié l’Event Horizon Telescope pour M87* (2019) et Sgr A* (2022). Une galaxie exactement derrière une autre apparaît en anneau (anneau d’Einstein). La lumière est aussi retardée : c’est l’effet Shapiro, mesuré par écho radar sur Vénus et Mercure.

5. 05

   Le temps passe moins vite en bas

   Une horloge immobile à la distance r d’une masse bat √(1 − r_s/r) fois moins vite qu’une horloge lointaine. Sur Terre, l’écart est minuscule, mais mesurable : 2,5 × 10⁻¹⁵ sur les 22,5 m d’une tour de Harvard (Pound et Rebka, 1960), et des horloges optiques le voient sur 33 cm (2010). Pour le GPS, il est énorme : à 20 200 km d’altitude, l’horloge d’un satellite avance de 45,7 µs par jour à cause de la gravité plus faible et retarde de 7,1 µs à cause de sa vitesse, soit +38,6 µs par jour. Non corrigé, cet écart fausserait les distances de plus de 11 km par jour. Les horloges sont donc réglées avant le lancement, 4,465 × 10⁻¹⁰ plus lentes. Près d’un trou noir, le ralentissement devient spectaculaire, et la lumière qui en sort arrive décalée vers le rouge.

6. 06

   Des vagues dans l’espace-temps

   Deux trous noirs qui tournent l’un autour de l’autre émettent des ondes gravitationnelles, perdent de l’énergie, se rapprochent et fusionnent. Au passage de l’onde, les distances se contractent dans une direction et s’allongent dans l’autre, en alternance (polarisations + et ×). Le 14 septembre 2015, les deux détecteurs LIGO ont enregistré GW150914 : deux trous noirs de 36 et 29 masses solaires, à 410 Mpc, dont le signal monte de 35 à 250 Hz en 0,2 s (un « chirp ») ; 3 masses solaires ont été converties en ondes. Le bras de 4 km d’un détecteur a varié d’environ 4 × 10⁻¹⁸ m, quelques millièmes du diamètre d’un proton.